«جمله و چند جمله ای»

به این 3 مساله توجه کنید:

مساله 1) 12 سیب را بین دو نفر طوری تقسیم کنید که، یکی از آنها دو برابر دیگری داشته باشد.

مساله 2) عدد 12 را به نسبت 2:1 تقسیم کنید.

مساله 3) عدد a را به نسبت m:n تقسیم کنید.

در مساله اول صحبت بر سر میوه سیب است، در حالی که در مساله دوم به هیچ چیز مشخصی توجهی ندارد. دو مساله، یکی است ولی اولی یک مساله مشخص دارد که در عمل و زندگی با آن، روبرو می شویم. ولی مساله دوم کلی تر است و به جای سیب فقط از عدد صحبت کرده است.

فرق «12 سیب» با «12» در این است که، اولی تنها به «سیب» مربوط می شود، در حالیکه «عدد 12»را می توان برای هر چیزی به کار برد.

این جدایی از «سیب» و «پول» و «مداد» و غیره را، در ریاضیات، «انتزاع» گویند. وقتی مساله ای را که درباره «سیب ها» است، حل می کنیم یک مساله مربوط به چیزی خاص (یعنی سیب) است، ولی وقتی مساله را درباره عدد 12 حل می کنیم، دیگر به چیز خاصی وابسته نیست: 12 می تواند 12 سیب باشد یا 12 دفترچه یا 12 گوسفند و «انتزاع» یعنی جدا شدن از چیزهای مشخص.

در طول زندگی نسل های انسانها ی نخستین، هزاران سال گذشت تا ضمن تجربه دریافتند، در «12 اسب» و «12 مرد» و «12 درخت» چیز مشترکی وجود دارد که همان «عدد 12» است. پیدایش عددها، بدون وابستگی آنها به چیزی یا وجودی، نخستین «انتزاع» در ریاضیات بود.

در مساله 3، «انتزاع» در مرحله بالاتری انجام شده است. به جای «عدد 12»، «عدد a» و به جای نسبت 2:1، نسبت m:n آمده است. مساله، بازهم کلی تر شده است. یعنی اگر مساله 3 را حل کنیم، آن وقت هر مساله دیگری را که به جای a و m و n، عدد گذاشته باشند، می توانیم حل کنیم.

اگر بخش های عدد a را x و y بنامیم، جواب مساله 3، چنین است:

 برابری های (1)، دستورها یا فرمول هایی هستند که، به کمک آنها می توان در مثل جواب مساله 2 را نوشت. در مساله 2، داریم a=12، n=2، m=1  ؛ پس : 

در واقع در مرحله دوم «انتزاع» به جای عددهای مشخص، با «حرف ها» (a و m و n و x و y) سروکار داشتیم و این یعنی : تبدیل «حساب» به «جبر».

واژه «جبر» از نام کتاب خوارزمی به نام «الجبر و المقابله» گرفته شده است. خوارزمی که در زمان مامون خلیفه عباسی می زیست، نخستین کسی است که کتاب مستقلی درباره «جبر» نوشت. این ریاضی دان و اختر شناس ایرانی، کتاب خود را به این قصد نوشت که راه حل معادله های درجه اول و درجه دوم را نشان دهد.

در واقع «جبر مقدماتی» یا «جبر دبیرستانی»، در اساس به معنی حل معادله هاست و همه بحث های جانبی دیگر آن، به منظور آماده کردن زمینه های لازم برای حل معادله است.

خود نام کتاب خوارزمی، یعنی «جبر و مقابله»، گواهی بر همین مطلب است. او «جبر» را به معنای «جبران کردن» می گرفت و به زبان ریاضیــات امــروزی، به مفـــهوم انتقال جملــه منفــی از یک طرف برابری، به طرف دیگر است، یعنی عملی که موجب مثبت شدن علامت جـمله
می شود. خوارزمی، «مقابله» (مقابل هم قرار دادن) را به معنای حذف جمله های برابر، در دو طرف معادله می دانست.

 البته خوارزمی ریاضی دانان ایرانی بعد از او (که دانش جبر را تکامل دادند)، مثل کرجی، خیام و جمشید کاشانی، از «حرف» و «علامت» برای نوشتن دستورها و فرمول ها استفاده نمی کردند و همه چیز را با بیان و گفتار و بدون هیچ نمادی، توضیح می دادند. از جمله، نماد برابری یعنی «=» در سده شانزدهم میلادی و به وسیله روبرت رکورد، ریاضیدان و پزشک انگلیسی (1510-1558) وارد ریاضیات شد. با وجود این، مدتی طول کشید تا این نماد عمومی شد. برای نمونه، رنه دکارت ریاضیدان و فیلسوف بزرگ فرانسوی (1596-4650 میلادی) که نزدیک به یک سده، بعد از «رکورد» می زیست، برای برابری از نماد «  » استفاده می کرد (در کتاب معروف خود، به نام «هندسه»). خود «رکورد»، دلیل انتخاب این نماد را برای برابری، اینطور توضیح می دهد : «هیچ دو چیزی، نمی توانند بهتر از دو پاره خط راست، با هم برابر باشند».

 نمادهای ساده ای که برای جمع «+» یا تفریق «-» به کار می بریم، برای نخستین بار در سال 1482 میلادی، در کتاب «حساب» اولبریخت واگنر و سپس در کتاب «رساله ای درباره حساب»، اثر یوهان ویدمان به کار برده شد (این دو ریاضیدان، آلمانی بودند و کتابهای آن ها در لایپزک چاپ شد).

به کار بردن «حرف های الفبای لاتینی»، برای مجهول و هم ضریب های عددی، برای نخستین بار به وسیله فرانسواویت (1540-1603 میلادی) معمول شد و دکارت هم که پس از او می زیست همین روش را پذیرفت و حرف های نخست الفبا، یعنی …,a,b,c را برای مقدارهای مجهول به کار برد.

بنابراین، مفهوم هایی از «جبر»، «ضریب»، «چند جمله ای» و غیر آن، در نوشته های ریاضی دانان ایرانی وجود ندارد. با وجود این، خوارزمی گونه های مختلف معادله درجه دوم را، با همان روش امروزی (ولی با بیان و توضیح و نه با فرمول) حل می کرد. البته، خوارزمی برای ضریب ها از عددهای درست و مثبت استفاده می کرد و به ریشه منفی معادله هم، توجهی نداشت. در کتاب خوارزمی، برای حل معادله ها، به جز روش جبری، اغلب از روشهای هندسی هم استفاده شده است. خیام، به جز معادله های درجه دوم، به گونه های مختلف معادله درجه سوم هم پرداخته است، ولی بیشتر به یاری هندسه، جواب را (و البته، جواب مثبت را) به دست آورده است.

با استفاده از نرم افزار ریاضیدان خبره سال اول دبیرستان شما می توانید قسمت چند جمله ای ها را به طور کامل یاد بگیرید و همچنین تمام مسائل مربوط به چند جمله ایها را با استفاده از حل کننده مسائل این نرم افزار حل نمایید.